正定性

【正定性】基础信息( 英文,繁体)

词语
英文 positive difiniteness
繁体 正定性

【正定性】是什么意思

一个n实变数x1, x2,…xn的二次形式(quadratic form) 可以用对称方阵A写为Q=xTAx, xT=(x1x2…xn);若对任意x≠0而言,均有Q0,则二次形式Q与对称矩阵A均称为具有正定性。类此,一个n复变数x1, x2,…xn的赫密特形式(Hermitian form): 恒可以赫米特矩阵H(HT=H)写为S=xTHx;若对任意x≠0而言,均有S0,则赫米特形式与H均称为具有正定性。注:当有x≠0而能使Q≧0(或S=O),则二次形式Q(或赫米特形式S)称为具有半正定性(positive semi-definitenees)。正定性的一个重要应用在于能够经由变数转换,使二次形式(或Hermitian形式)写为新变数x'i的平方和;例如: 上述方阵A(或H)具有正定性的充要条件是各特徵值均为正值。但判定其正定性,可以迳由特徵函数完成之: 对称方阵A(或赫米特方阵H)具有正定性,若且惟若β1,β2…βn均为正值。上述充要条件亦可改写为:逐阶前例对角子方阵的行列式均大于0。今以三阶方阵:A=[aij]为例,其为正定性的充要条件为:

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