一个在区间I内可以微分达n+1次的函数f(x)，对区间内一点a而言，可以写为(x－a)的多项式：Pa＝f(a)＋f'(a)(x-a)＋…＋[f(n)(a)／n!](x－a)n称为函数f(x)在a的泰勒展开式（或多项式）。由泰勒定理可以证明上述展开式的余项f(x)－Pa得以写为； 当n→∞、Rn→0，上述展开式为一收敛级数，称为泰勒级数： 泰勒展开式亦可推广于复变数函数f(z)。今考虑f(z)在邻城内为解析函数，则由Cauchy积分公式可得泰勒展开式为； 式中，c为一绕z0的积分周道。当n→∞、Rn→0，解析函数f(z)恒可写为泰勒级数。