振动的运动方程式可写成 式中，m、c及k代表质量、阻尼及弹簧系数，x为位移，是时间的函数，f是激荡力亦为时间函数；在物理意义上看，激荡力转换成惯性力，阻尼力及弹性力为结构所吸收；在数学上看(1)式是一个二阶常微分方程式，其全解xr应包括补解xc及特解xp是稳态解，其物理现象表现出稳态振动；xc是满足f(t)为零时的解，因此与结构系统特性m、c、k及初始位移x0和初始速度 有关，若定义自然频率w2＝k/m，阻尼比ζ＝c/ccr，其中，ccr＝2mw，则 c＝2mwζ；当f(t)＝0时(1)式可简化为： (2)式之解即补解xc，其通常的型式是：xc(t)＝e-ζwt(A sin wdt＋B cos wdt) 式中，wd≡w√1－ζ2，A、B与x0及 相关；但无论如何当t增加时，xc的系数e-ζwt很快趋近于零，xc亦趋近于零，因此名之为暂态振动；虽然理论上无阻尼系统的xc并非如此，但实际上任何材质永远是ζ≠0，如此xc(t)表现的振动现象乃均称之为暂态振动。